İçindekiler
1EBOB Nedir?
EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüdür. Başka bir deyişle, verilen sayıların hepsini tam bölebilen en büyük sayıdır.
Örneğin, 12 ve 18 sayılarının ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6 olduğundan EBOB(12, 18) = 6 olur. 6, hem 12'yi hem de 18'i tam bölebilen en büyük sayıdır.
Temel Kavramlar
Bölen: Bir sayıyı tam bölen sayı
Ortak bölen: Birden fazla sayının ortak böleni
Asal çarpan: Asal sayı olan çarpan
Aralarında asal: EBOB'u 1 olan sayılar
12 ve 18'in Bölenleri
12'nin bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 12
18'in bölenleri:
1, 2, 3, 6, 9, 18
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 → EBOB = 6
2EKOK Nedir?
EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüdür. Verilen sayıların hepsine tam bölünebilen en küçük pozitif sayıdır.
Örneğin, 4 ve 6 sayılarının ortak katları: 12, 24, 36, ... olduğundan EKOK(4, 6) = 12 olur.
4 ve 6'nın Katları
4'ün katları:
4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
6'nın katları:
6, 12, 18, 24, 30, ...
Ortak katlar: 12, 24, 36, ... → EKOK = 12
Nerelerde Kullanılır?
EKOK genellikle "en erken ne zaman tekrar buluşurlar?" veya "en az kaç tane gerekir?" gibi sorularda karşımıza çıkar. Örneğin, iki otobüsün aynı anda kalkma sürelerini bulmak gibi.
3EBOB Hesaplama Yöntemleri
EBOB hesaplamak için en yaygın yöntem asal çarpanlara ayırma yöntemidir. Sayılar asal çarpanlarına ayrılır, ortak asal çarpanların en küçük kuvvetleri çarpılır.
EBOB = Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımı
Örnek: EBOB(36, 48)
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3
Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
2'nin en küçük kuvveti: 2² = 4
3'ün en küçük kuvveti: 3¹ = 3
EBOB(36, 48) = 4 × 3 = 12
Ardışık Bölme (Öklid) Yöntemi
Büyük sayı küçük sayıya bölünür, kalan ile bölen tekrar bölünür. Kalan sıfır olunca son bölen EBOB'dur.
48 ÷ 36 = 1, kalan 12
36 ÷ 12 = 3, kalan 0
EBOB(36, 48) = 12
4EKOK Hesaplama Yöntemleri
EKOK hesaplamak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve tüm asal çarpanların en büyük kuvvetleri çarpılır. EBOB'dan farklı olarak burada ortak olmayan çarpanlar da dahil edilir.
EKOK = Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı
Örnek: EKOK(36, 48)
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3
Tüm asal çarpanlar: 2 ve 3
2'nin en büyük kuvveti: 2⁴ = 16
3'ün en büyük kuvveti: 3² = 9
EKOK(36, 48) = 16 × 9 = 144
EBOB vs EKOK Farkı
EBOB: Ortak çarpanların en küçük kuvvetleri
EKOK: Tüm çarpanların en büyük kuvvetleri
EBOB her zaman EKOK'tan küçük veya eşittir.
5EBOB-EKOK İlişkisi
İki sayının EBOB ve EKOK'u arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu formül sınavlarda sıkça karşınıza çıkar.
a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir
Doğrulama: 36 ve 48
36 × 48 = 1728
EBOB × EKOK = 12 × 144 = 1728
36 × 48 = EBOB × EKOK = 1728 ✓
EBOB ile Gösterim
İki sayı EBOB'ları cinsinden şöyle gösterilebilir:
EBOB(a, b) = d ise
a = d · m, b = d · n (m ve n aralarında asal)
EKOK(a, b) = d · m · n
Aralarında Asal Sayılar
EBOB'ları 1 olan sayılara "aralarında asal" denir.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, sayıların çarpımına eşittir.
Örnek: EBOB(8, 15) = 1 → EKOK(8, 15) = 8 × 15 = 120
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımı
- EKOK: Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı
- a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b) formülünü mutlaka ezberle
- Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır
- EBOB her zaman EKOK'tan küçük veya eşittir
- EBOB, verilen sayıların her birini böler; EKOK, her birine bölünür
Sık Yapılan Hatalar
- EBOB ve EKOK hesaplarken kuvvet seçimini karıştırmak (küçük-büyük)
- EKOK hesaplarken sadece ortak çarpanları almak (tümünü almalısın)
- Aralarında asal sayılarda EBOB'u 0 yazmak (1 olmalı)
- Asal çarpanlara ayırırken asal olmayan sayılarla bölmek
- EBOB-EKOK ilişki formülünü üç sayıya doğrudan uygulamak (sadece iki sayı için geçerli)
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
EBOB(24, 36) değerini bulunuz.
EKOK(8, 12) değerini bulunuz.
İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 180'dir. Sayılardan biri 36 ise diğerini bulunuz.
Bir bahçenin 72 m ve 48 m olan kenarlarına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç dikilmelidir?
EBOB'ları 12 olan iki sayının toplamı 132'dir. Bu iki sayının EKOK'unu bulunuz.