İçindekiler
1Trigonometri Nedir?
Trigonometri, üçgenlerin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri inceler. "Trigon" üçgen, "metron" ölçme demektir.
Günlük hayattan örnek verelim: Bir binanın yüksekliğini, gölgesinin uzunluğunu ve güneş açısını kullanarak hesaplayabiliriz.
Kullanım Alanları
Fizik (dalga hareketi), mühendislik (köprü tasarımı), astronomi (gezegen yörüngeleri), GPS navigasyon
2Birim Çember
Yarıçapı 1 birim olan, merkezi orijinde olan çembere birim çember denir.
x² + y² = 1
Birim çember denklemi
Açı ölçüleri: derece ve radyan. 180° = π radyan. Birim çember üzerinde P(x,y) noktası için: x = cos(α), y = sin(α)
| Açı | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
3Trigonometrik Oranlar
Sinüs (sin)
sin(α) = karşı kenar / hipotenüs
Kosinüs (cos)
cos(α) = komşu kenar / hipotenüs
Tanjant (tan)
tan(α) = karşı kenar / komşu kenar = sin(α)/cos(α)
Kotanjant (cot)
cot(α) = komşu kenar / karşı kenar = cos(α)/sin(α)
Sekant (sec)
sec(α) = 1/cos(α)
Kosekant (csc)
csc(α) = 1/sin(α)
4Temel Özdeşlikler
| Özdeşlik | Formül |
|---|---|
| Pisagor Özd. | sin²(α) + cos²(α) = 1 |
| Tanjant | tan(α) = sin(α)/cos(α) |
| Sekant Özd. | 1 + tan²(α) = sec²(α) |
| Kosekant Özd. | 1 + cot²(α) = csc²(α) |
| İki Kat Açı (sin) | sin(2α) = 2sin(α)cos(α) |
| İki Kat Açı (cos) | cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) |
| Toplam (sin) | sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) |
| Toplam (cos) | cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) |
Sınav İpucu
sin²α + cos²α = 1 özdeşliği en çok kullanılan formüldür. Bu özdeşlikten diğerleri türetilebilir.
5Trigonometrik Denklemler
Trigonometrik denklemler, trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemlerdir. Çözümleri periyodik olduğu için genel çözüm yazmak gerekir.
sin(x) = sin(α)
x = α + 2kπ veya x = π - α + 2kπ
(k ∈ Z)
cos(x) = cos(α)
x = ±α + 2kπ
(k ∈ Z)
Örnek: sin(x) = 1/2 denkleminin çözümü
sin(x) = 1/2 → sin(x) = sin(π/6)
Genel çözüm:
x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ (k ∈ Z)
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- Birim çemberde sin → y ekseni, cos → x ekseni olarak düşün
- sin²α + cos²α = 1 her zaman geçerlidir
- Toplam/fark formülleri AYT'de sıkça sorulur
- Trigonometrik denklemlerde genel çözümü yazmayı unutma
- İşaret tablosunu (bölgelere göre + / -) mutlaka öğren
Sık Yapılan Hatalar
- sin(α+β) = sin(α) + sin(β) sanmak (YANLIŞ!)
- Birim çemberde sin ve cos'u karıştırmak
- Radyan-derece dönüşümünü unutmak
- Trigonometrik denklemlerde periyodu atlayarak eksik çözüm yazmak
- tan ve cot'un tanımsız olduğu noktaları gözden kaçırmak
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
sin(150°) değerini birim çember yardımıyla bulunuz.
sin²(x) + cos²(x) = 1 özdeşliğini kullanarak cos(x) = 3/5 ise sin(x) değerini bulunuz (x birinci bölgede).
sin(2x) = √3/2 denklemini [0, 2π) aralığında çözünüz.
sin(75°) değerini toplam formülü kullanarak hesaplayınız.
2sin²(x) - 3sin(x) + 1 = 0 denklemini [0, 2π) aralığında çözünüz.