İçindekiler
1Türev Nedir?
Türev, bir fonksiyönün belirli bir noktadaki anlık değişim hızını ifade eder. Geometrik olarak, fonksiyon grafiğine çizilen teğet doğrusunun eğimidir.
Günlük hayattan örnek verelim: Bir arabanın hız göstergesi, o anki anlık hızı gösterir. Bu anlık hız, aslında konumun zamana göre türevidir.
Fiziksel Yorum
Konum fonksiyonu s(t)'nin türevi → Hız v(t)
Hız fonksiyonu v(t)'nin türevi → İvme a(t)
2Limit ile Türev Tanımı
f(x) fonksiyönünün x = a noktasındaki türevi, aşağıdaki limit ile tanımlanır:
f'(a) = limh→0 [f(a + h) - f(a)] / h
Bu limite "fark oranının limiti" denir.
Alternatif gösterim (x → a yaklaşırken):
f'(a) = limx→a [f(x) - f(a)] / (x - a)
Türev Gösterimleri
f'(x)
Lagrange
dy/dx
Leibniz
Df(x)
Operatör
ẏ
Newton
3Türev Alma Kuralları
Sabit Kuralı
c sabit ise → (c)' = 0
Örnek: (5)' = 0, (π)' = 0
Kuvvet Kuralı
(xn)' = n · xn-1
Örnek: (x³)' = 3x², (x⁵)' = 5x⁴, (√x)' = (x1/2)' = 1/(2√x)
Sabit Çarpan Kuralı
(c · f(x))' = c · f'(x)
Örnek: (3x²)' = 3 · 2x = 6x
Toplam/Fark Kuralı
(f ± g)' = f' ± g'
Örnek: (x³ + 2x² - 5x)' = 3x² + 4x - 5
Çarpım Kuralı
(f · g)' = f' · g + f · g'
"Birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi"
Bölüm Kuralı
(f/g)' = (f' · g - f · g') / g²
"Pay türevi çarpı payda, eksi pay çarpı payda türevi, bölü payda kare"
4Temel Türev Formülleri
| Fonksiyon f(x) | Türev f'(x) |
|---|---|
| x^n | n · x^(n-1) |
| e^x | e^x |
| a^x | a^x · ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| log_a(x) | 1/(x · ln(a)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) = sec²(x) |
| cot(x) | -1/sin²(x) = -csc²(x) |
| arcsin(x) | 1/√(1-x²) |
| arccos(x) | -1/√(1-x²) |
| arctan(x) | 1/(1+x²) |
5Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyon)
İç içe fonksiyonların türevini almak için zincir kuralı kullanılır. Bu kural AYT'de en çok kullanılan türev kuralıdır.
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
"Dışın türevi (iç aynı kalır) çarpı içteki türevi"
Örnek: f(x) = (3x + 2)⁵ fonksiyönünün türevi
Dış fonksiyon: u⁵ → Türevi: 5u⁴
İç fonksiyon: u = 3x + 2 → Türevi: 3
f'(x) = 5(3x + 2)⁴ · 3 = 15(3x + 2)⁴
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- Türev, fonksiyönün eğimini (değişim hızını) verir
- Türev sıfırsa, fonksiyon o noktada yataydır (max/min olabilir)
- Türev pozitifse fonksiyon artan, negatifse azalandır
- İkinci türev, birinci türevin türevidir ve bükeyliği gösterir
- Zincir kuralını iç içe fonksiyonlarda mutlaka uygula
Sık Yapılan Hatalar
- Zincir kuralını unutmak: (sin(2x))' ≠ cos(2x), doğrusu 2cos(2x)
- Bölüm kuralında işaret hatası yapmak
- Çarpım kuralında sadece türevleri çarpmak
- e^x'in türevinin xe^(x-1) sanmak (türev kendisi)
- ln(x)'in türevini ln(x)/x sanmak (doğrusu 1/x)
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7 fonksiyönünün türevini bulunuz.
f(x) = (2x + 1)⁶ fonksiyönünün türevini bulunuz.
f(x) = x² · sin(x) fonksiyönünün türevini bulunuz.
f(x) = (x² + 1) / (x - 1) fonksiyönünün x = 2 noktasındaki türev değerini bulunuz.
f(x) = e^(x²) · ln(x) fonksiyönünün türevini bulunuz.